Да, можно ездить. Ты должен быть вписан в страховку. По налогу договорись и насчет штрафов с камер тоже ибо хозяину авто они будут приходить. У хозяина всегда будет рычаг на тебя, если не оплатишь ему штраф-налог, он может легко анулировать регистрацию ТС и проч плюшки которые лишат тебя авто. Так что если хозяин хороший человек и идет на встречу, то тебе повезло.
Если честно, то лично я не вписался бы с незнакомым человеком в такую историю т.к. у нас за все отвечает владелец авто, если только в суде он не доказал что за рулем его небыло. Но к примеру сбитый пешеход и уехавший авто с зафиксированными свидетелями номерами, однозначно получит проблемы владелец ТС. А если у него вдруг не будет алиби... :)